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Euler y la teoría matemática de la música

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Siglo XVIII en plena formación del clasicismo, en el periodo rococó. Leonhard (Paul) Euler ya hacía mención en su Tentamen novae theoriae musicae (1739) al hecho de que la música incorpora disonancias que resultarían insoportables en la música antigua. Aún no era el tiempo de la revolución musical de Haydn, Mozart ni Beethoven. Empero, Euler  planteó en dicho trabajo una nueva gama de armonías musicales.

Siguiendo la tradición de Descartes, Mersenne, D’Alembert, Leibniz, Rameau, etcétera –que estudiaban la música al igual que cualquier otra ciencia–, Euler mostró gran interés y desarrolló varios temas en relación a la música en áreas de la acústica y la teoría musical. No hay que olvidar que este empeño del estudio en la música se dio sobre todo por el reconocimiento que se tenia de la música como una ciencia. Sin embargo, en algún punto del desarrollo del conocimiento, esta visión se ensombreció y no es hasta los tiempos actuales que sea ha realizado un verdadero intento de dotar de formalidad a los tratados de música.

 

 

La musicología y teoría musical de la actualidad son operadas en varios niveles que engloban todo el quehacer musical. Conforme la teoría más actual está formada por realidad (física, síquica y mental); comunicación (creador, obra y escucha) y semiosis (significante, significación y significado). Este último estadio coloca a la música dentro de la semiótica, con partes mínimas con “sentido”, un mensaje y un significado.

Es en la parte semiótica que podemos caer en un “juego tramposo” de este modelo contemporáneo, que funciona a la perfección dentro de los lineamientos de la música clásica, i.e. de buena modulación y armonía. No deja paso a experimentaciones bastante aterrizadas a partir de la música clásica del siglo XX, como es el caso de 4’33” de John Cage, considerada la pieza prototipo del movimiento noise. Por citar también el modelo de “modulación” de Guerino Mazzola a partir de armonía y conjuntos de tonos modelados por teoría de módulos y teoría de topos, pueden tener de entrada escalas armónicas, tonos enteros; emplear afinaciones justas, pitagóricas o microtonales, utilizar golpes de metrónomo, etcétera, y el resultado de la aplicación del modelo siempre generará una buena transición tonal, es decir, una modulación rítmica, armoniosa. Nunca ruido o noise.
No obstante la conformación de rigor conceptual en el campo de la música es un gran avance, sustentado en fuertes conceptos matemáticos como lo son la homología y la teoría de topos, entre otros. Pero, sobre todo, que en campos no físicos, sino de carácter interpretativo y de apreciación, la teoría musical se ha encontrado llena de definiciones vagas e intuitivas. El propio concepto de música es planteado muchas veces y de distintas formas que apelan casi siempre al conocimiento empírico. Leibniz la definía como “un ejercicio de aritmética secreta y el que se entrega a ella ignora que maneja números”; San Agustín de Hipona decía que es “la ciencia de la buena modulación”; Debussy hablaba de que “la música es la aritmética de los sonidos, como la óptica es la geometría de la luz” y Schumann, “la música es el lenguaje que me permite comunicarme con el más allá”.

Una definición algo informal y que pretende ser más acorde al modelo matemático musical es la dada por los investigadores de la UNAM Octavio A. Agustin Aquino y Emilio Lluis Puebla: “La música es un sistema de signos compuestos de formas complejas, que pueden ser representados por sonidos físicos y que de esta manera median entre contenidos mentales y psíquicos”.

Vemos de esta última definición que trata de ser coherente (aunque en un sentido informal) con los y tres principales componentes de la teoría matemática musical: realidad, comunicación y semiosis. Ya al principio de este texto se habló de las aportaciones de Euler a la semiosis, que quizás es de los pocos trabajos estudiados de Euler; a pesar de encontrase fácilmente su obra original Tentamen novae theoriae musicae en internet, ésta sólo se halla en latín. No es así con sus otros trabajos que significan una aportación a las áreas de comunicación y realidad. Su tesis de doctorado, De la propagation du son (De la propagación del sonido), llega a partir de un modelo propio, pero erróneo, a calcular una ecuación muy acertada para la propagación del sonido. Euler concluye que la velocidad de propagación es la misma en más de una dimensión y llega a generar una ecuación de onda en la que plantea diversos aspectos añadidos a la ecuación como lo son la independencia del tiempo o el estudio de la propagación del sonido en dos y tres dimensiones, obteniendo igualmente una ecuación de onda para el último caso y, de paso, genera aplicaciones a sus anteriores aportes al cálculo y el análisis.

 

 

Quizá la parte de comunicación y la teoría de la interpretación es la sección que plantea más dificultades, ya que gran parte comprende el mecanismo  físico-mental del interprete y el escucha. Es así que el tempo es uno de estos conceptos bastante borrosos que se han mantenido sin un esfuerzo de esclarecimiento ya que impera en el momento de comprensión-acción del ejecutante. Mazzola, como primer paso define la interpretación,  en tono coloquial pero sin secretismos inconscientes como “la realización física de una concepción mental de una partitura genérica”. Posteriormente precisa el tempo como “un campo de interpretación de una sola dimensión en el eje del tiempo”, es la transformación de los inicios mentales en inicios físicos.

Es en la parte física de la realidad que se han logrado establecer diversos conceptos medulares, desde hace tiempo y con un amplio formalismo con la acústica como respaldo. Es así que Joseph Sauveur, cerca de 1700, propone la nota do como patrón de tono en equivalencia a 256 Hz; finalmente en la actualidad se tiene convenida la nota la como patrón base, con una equivalencia de 440 Hz. En los intermedios de los campos reales-comunicación y comunicación-semióticos, Euler posee sendos trabajos sobre la descripción detallada del sistema de voz humana y sobre la clasificación de los  sonidos según sus fuentes, esto basado en su modelo erróneo de la estructura del aire. También en su basta obra abarca la armonía musical, generando, por citar algunas, reglas de combinación armónica a partir de combinatoria matemática y la escala pitagórica.

No cabe duda de los avances de la musicología contemporánea y de la teoría matemática musical han evolucionado considerablemente desde el segundo periodo del siglo XX a la fecha; pero este avance ha consistido, sobre todo, en formalizar lo que no se había planteado o carecía de formalismo en la teoría de la música clásica. De momento deja un poco de lado ciertas posibilidades musicales. No así en el caso la música serial, el dodecafonismo, la música posmoderna, etcétera. Pero recordemos que estas corrientes se basan en la ruptura de los esquemas tradicionales y sólo falta reorientar el flujo de información en el esquema de estructuras musicales. Mazzola en los años ochenta del siglo XX planteó las estructuras musicales como estructuras globales a partir de pegados de estructuras locales, las mínimas partes de significado. Un ejemplo claro de este re-ordenamiento del flujo de entre las estructuras de la música son los experimentos de Iannis Xenakis con la composición a partir de álgebra boleana, teoría de grupos y teoría de probabilidad, entre otros.

 

Bibliografía:

Contribuciones de Leonhard Euler a la acústica. Dolores Ayala Velázquez y Pablo A. Lonngi V. Miscelánea Matemática 46, 2008; Sociedad Matemática Mexicana.

Una invitación a la teoría matemática de la música: I. Introducción y teoría de la interpretación.  Octavio A. Agustin Aquino y Emilio Lluis Puebla. Ciencias 101, revista de difusión de la facultad de ciencias de la U.N.A.M., enero-marzo del 2011.

Una invitación a la teoría matemática de la música: II. Armonía y contrapunto.  Octavio A. Agustin Aquino y Emilio Lluis Puebla. Ciencias 102, revista de difusión de la facultad de ciencias de la U.N.A.M., abril-junio del 2011.

 

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Efraín Constantino (Oaxaca, 1984) cursó estudios en matemáticas, es artista visual y miembro fundador de la banda de noise ooo.

 
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